Code de calcul :

SOLEA – Computation of the SOLution of the Erod-Adams model / Calcul de la SOLution du modèle d'Elrod-Adams

Contexte :

En lubrification hydrodynamique, l'équation de Reynolds (approximation du système de Stokes) permet de déterminer la pression dans un mécanisme lubrifié. Mais elle ne prend pas en compte la cavitation, qui est un phénomène important aboutissant à l'apparition de bulles de gaz lorsque la pression diminue jusqu'à atteindre la pression de vapeur saturante. Le modèle d'Elrod modélise ce phénomène, en introduisant dans l'équation de Reynolds une inconnue supplémentaire : la saturation en liquide. Ce modèle est conservatif (contrairement au modèle de Christopherson, également utilisé en mécanique) et la solution peut être calculée en utilisant soit i) un algorithme proposé par Alt, soit ii) un algorithme proposé par Bayada, Chambat et Vázquez (basé sur les travaux de Bermúdez, Moreno et Durany).

Algorithme :

La méthode numérique est basée sur le couplage entre une méthode des caractéristiques et l'algorithme de Bermudez-Moreno, la solution stationnaire étant déterminée après convergence en temps de l'algorithme. Chaque étape en temps consiste à résoudre un problème non-linéaire qui entre dans le cadre de résolution proposé par Bermudez et Moreno : leur algorithme de pénalisation-dualité, basé sur les propriétés des opérateurs maximaux monotones et de leur régularisée d'Yosida, permet, par un processus itératif résolvant une suite de problèmes linéaires, de construire simultanément la solution en pression-saturation du problème discrétisé (au sens des éléments finis).

Programmation :

Le programme, implanté en Fortran 95, possède deux versions : l'une adaptée à des paliers à alimentation circonférentielle (conditions aux limites de type Dirichlet / périodique), l'autre adaptée à des paliers à alimentation axiale (conditions aux limites de type Neumann / Dirichlet). Dans les deux cas, il est possible de prendre en compte la déformation élastique des surfaces sous les effets de forte pression (modèle de Koiter ou modèlle de Hertz) ainsi que les effets de rugosités de surface par le calcul direct ou par le calcul de la solution homogénéisée.

Auteurs :

Auteurs principaux : A. Bermúdez (Santiago de Compostela), J. Durany (Vigo) & C. Vázquez (A Coruña).
Contributions pour le couplage élastohydrodynamique : I. Arregui (A Coruña), G. García (Vigo), J. Jesús Cendan (A Coruña).
Contributions pour l'influence des rugosités de surface : B. Cid (Vigo), S. Martin (Paris) | version révisée : janvier 2010

Illustrations numériques :

  • Fig. 1 : Palier à alimentation axiale :

Pression hydrodynamique (renormalisée)Saturation liquide

  • Fig. 2 : Roulement à billes à alimentation circonférentielle :

Pression hydrodynamique (renormalisée)Saturation liquide

Références :

A. Bermúdez, C. Moreno : Duality methods for solving variational inequalities, Computers & Mathematics with Applications, 7 (1981), 43–58.

A. Bermúdez, J. Durany : Solving some free boundary problems by a method of characteristics, in Free boundary problems: theory and applications, Vol. II (1990), 574–581, Pitman Res. Notes Math. Ser., 186.

G. Bayada, M. Chambat, C. Vázquez : Characteristics method for the formulation and of a free boundary cavitation problem, Journal of Computational and Applied Mathematics, 98 (1998), 191–212.

J. Durany, G. García, C. Vázquez : Numerical simulation of a lubricated Hertzian contact problem under imposed load, Finite Elements in Analysis and Design 38 (2002), 645–658.

I. Arregui, J. Jesús Cendán, C. Vázquez : Mathematical analysis and numerical simulation of a Reynolds-Koiter model, ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 36 (2002), 325–343.

G. Bayada, B. Cid, C. Vázquez : Two-scale homogenization study of a Reynolds-rod elastohydrodynamic model, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 13 (2003), 259–293.

G. Bayada, S. Martin, C. Vázquez : Two-scale homogenization of a hydrodynamic Elrod-Adams model, Asymptotic Analysis, 44 (1-2), 75–110 (2005).

G. Bayada, S. Martin, C. Vázquez: An asymptotic flow model of the Reynolds roughness including a mass-flow preserving cavitation model, A.S.M.E. Journal of Tribology, 127 (4), 793–802 (2005). A.S.M.E. Tribology Division Award (Best Paper Award 2005).