Code de calcul :
ELVIS – VIScoELastic fluids in thin film flows / Fluides VIScoÉLlastiques dans des écoulement de faible épaisseur
Contexte :
Les équations de Stokes-Oldroyd-B permettent de modéliser des écoulements visco-élastiques. Les non-linéarités introduites par les propriétés rhéologiques de ces fluides non-newtoniens se traduisent numériquement par de grandes difficultés pour le calcul direct d'écoulements 3D. Les effets d'échelles en mécanique des films minces induisent des difficultés encore plus grandes, mais une analyse asymptotique rigoureuse permet de construire un système limite équivalent dont le traitement numérique est plus facile. Après avoir proposé et justifié le modèle asymptotique (hypothèse de film mince), nous avons proposé et analysé une méthode numérique permettant de calculer la solution. Ce travail est adapté à l'étude d'écoulements visco-élastiques de faible épaisseur à partir i) du modèle d'Oldroyd-B, ii) du modèle de Phan-Thien Tanner (avec correction d'ordre 1 dans le modèle asymptotique).
Algorithme :
La méthode de calculs est basée sur une discrétisation par différences finies et un algorithme de point fixe qui permet d'augmenter progressivement la non-linéarité. Chaque étape du point fixe (de nature newtonienne) est résolue par une méthode d'Uzawa en traitant le champ de vitesse comme inconnue principale (contrairement à la résolution usuelle du problème newtonien, qui traite la pression comme inconnue principale en résolvant l'équation de Reynolds). Cet algorithme permet de déterminer les champs de pression, vitesse, tenseur de contraintes (visqueux et élastique) et la viscosité effective pour des écoulements 3D sous l'hypothèse de film mince.
Programmation :
Le programme, implanté en Fortran 95, est constitué de deux versions commentées, permettant de prendre en compte des conditions aux limites réalistes du point de vue des applications en mécanique : la version (A) est adaptée à une alimentation en pression tandis que la version (B) correspond à une alimentation en débit. Les fichiers de résultats sont édités soit en format .txt (permettant un affichage par un programme matlab inclus dans l'archive du code), soit en format .vtk (permettant un affichage avec paraview).
Auteurs :
Laurent Chupin (Clermont-Ferrand) & Sébastien Martin (Paris) | version originale : mars 2006 | version révisée : janvier 2010
Illustrations numériques :
Fig. 1 : Écoulement lubrifié dans un patin (profil linéaire convergeant) avec alimentation en pression, pour un fluide visco-élastique (modèle d'Oldroyd-B corotationnel) avec contribution élastique de 70% et nombre de Weissenberg We=0.50.
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| a) Pression hydrodynamique | b) Contrainte de cisaillement | c) Viscosité effective |
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| d) 1ère composante de la vitesse | e) 2ème composante de la vitesse | f) 3ème composante de la vitesse |
Fig. 2 : Influence du paramètre de retard sur la pression hydrodynamique dans un palier (profil convergeant-divergeant) avec alimentation en débit. Cette simulation invalide, dans le cas non-newtonien, l'approximation du palier infiniment long couramment utilisée dans le cas newtonien.
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| Élasticité : 0% (cas newtonien) | Élasticité : 50% | Élasticité : 70% |
Publications :
G. Bayada, L. Chupin, S. Martin : Viscoelastic fluids in a thin domain, Quarterly of Applied Mathematics, 65 (4), 625–651 (2007).
G. Bayada, L. Chupin, S. Martin : From the Phan-Thien Tanner / Oldroyd-B non-Newtonian model to the double shear thining Rabinowisch thin film model, ASME Journal of Tribology, 133 (3), 031802 (2011).