Code de calcul :
Simulation directe de bactéries chimiotactiques auto-propulsées
Contexte :
Dans le cadre du projet ANR MOSICOB, nous nous intéressons à la simulation directe de suspensions actives, modélisant des écoulements de Stokes dans lequel évoluent un grand nombre de bactéries autopropulsées.
Algorithme :
Afin de simuler le comportement individuel et collectif de bactéries, on procède la façon suivante :
Modélisation de la propulsion. La propulsion des bactéries, de forme ellipsoïdale ou circulaire, de type pusher (i. e. propulsées par un flagelle) est modélisée par un couple de forces de même intensité et de direction opposée appliqué sur le corps rigide des bactéries et sur une région du fluide associée au mouvement d'un flagelle ; la propulsion de bactéries de type puller (i. e. propulsées par des cils situés en amont du corps de la bactérie) peut être modélisée de façon analogue.
Interaction fluide-bactéries. La méthode pour simuler l'écoulement fluide et le mouvement des bactéries est basée sur une formulation variationnelle définie sur tout le domaine, qui induit un couplage fort pour l'interaction fluide-particules : le mouvement rigide est assuré par pénalisation du tenseur de déformation sur le domaine rigide, alors que l'incompressibilité est traitée par dualité. Ce modèle permet d'obtenir une description précise du mouvement du fluide et des interactions hydrodynamiques pour des suspensions diluées, semi-diluées ou denses. D'un point de vue mathématique, le modèle conduit à la résolution d'un problème de minimisation dans un espace fonctionnel non contraint, qui peut être implanté avec un solveur éléments finis usuel.
Gestion des contacts entre les bactéries. Afin d'assurer la robustesse de la méthode numérique, un algorithme basé sur une méthode de projection des vitesses sur un espace de vitesses admissibles (garantissant la non-pénétration des entités rigides), permet de gérer le contact inélastique des objets rigides.
Les particules peuvent représenter des bactéries du type Escherichia coli ou Bacillus subtilis, qui interagissent avec leur environnement chimique à travers la consommation de nutriments et leur orientation dans des directions favorables à cette consommation. Le modèle prend donc en compte l'interaction avec l'oxygène : une équation d'advection-diffusion sur la concentration d'oxygène est résolue dans le domaine complet, avec un terme source de dégradation modélisant la consommation d'oxygène par les bactéries ; de plus, la propulsion est désactivée pour les particules qui ne peuvent consommer suffisamment d'oxygène (lorsque le milieu est appauvri). Enfin, le modèle inclut les changements aléatoires d'orientation des bactéries, avec une fréquence qui dépend de la concentration environnante et qui favorise les directions de gradient de concentration (run-and-tumble), afin de reproduire le comportement chimiotactique des bactéries.
Programmation :
Différents programmes FreeFem++ permettent d'étudier la rhéologie de suspensions actives, pour différentes conditions aux limites. Pour chaque type de bactérie (pusher ou puller), il existe deux programmes permettant d'étudier les seules interactions hydrodynamiques, l'un avec conditions aux limites bipériodiques, l'autre avec conditions périodiques et cisaillement de parois (afin de reproduire un écoulement viscosimétrique). Un autre programme prenant en compte le comportement chimiotactique est disponible, pour une géométrie de type goutte.
Auteurs :
Astrid Decoene (Orsay), Sébastien Martin (Paris), Bertrand Maury (Orsay) | version : juillet 2010
Illustrations numériques :
Fig. 1 : Interactions hydrodynamiques autour de bactéries de type pushers.
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| a) Champ de vitesse (1 bactérie) | b) Lignes de courant (1 bactérie) |
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| a) Champ de vitesse (5 bactéries) | b) Lignes de courant (5 bactéries) |
Fig. 2 : Turbulence faible dans une suspension active. Les films (au format .gif animé) ci-dessous représentent l'évolution en temps d'une suspension semi-diluée (g.) et d'une suspension dense (d.). L'évolution en temps du champ de vitesse et l'évolution en temps du champ de vorticité pondérée par un noyau gaussien (dont l'écart type est de l'ordre de grandeur de la taille des bactéries) sont représentées avec la distribution des bactéries.
a) Suspension semi-diluée b) Suspension dense
a) Suspension semi-diluée b) Suspension dense
Fig. 3 : Cisaillement de suspensions et influence de la propulsion. Les films (au format .gif animé) ci-dessous représentent en parallèle l'évolution en temps d'une suspension active et d'une suspension passive à partir de la même distribution initiale, dans le cas d'une fraction semi-diluée (g.) et d'une fraction dense (d.).
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| a) Cisaillement (suspension semi-diluée) | b) Cisaillement (suspension dense) |
Fig. 4 : Influence de la chimiotaxie : Les films (au format .gif animé) ci-dessous illustrent des phénomènes de bioconvection sous les effets de compétition entre chimiotaxie et gravité. Pour chaque géométrie, le film représente l'évolution en temps (h.) : de la concentration en oxygène et la distribution des bactéries et, (b.) : du champ de vitesse dans le fluide.
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| a) Chimiotaxie dans un rectangle | b) Chimiotaxie dans une goutte |
Publications :
A. Decoene, S. Martin, B. Maury : Microscopic modelling of active bacterial suspensions, Mathematical Modelling of Natural Phenomena, 6 (5), 98–129 (2011).
A. Decoene, A. Lorz, S. Martin, B. Maury, M. Tang : Simulation of self-propelled chemotactic bacteria in a Stokes flow, ESAIM: Proceedings, 30 (Mathematical Modelling in Medicine), 105–124 (2010).