Code de calcul :

Simulation 3D+t du transport mucociliaire

Contexte :

Le transport mucociliaire désigne ce processus permettant aux particules inhalées et déposées dans l'appareil broncho-pulmonaire d'être éliminées, grâce à la dynamique collective de cils baignant partiellement dans un fluide qui va presque jusqu'à leur sommet, le haut des cils étant pris dans une couche de mucus. Parmi les enjeux de compréhension figure l'étude de l'ensemble des paramètres critiques qui interviennent dans l'efficacité du transport mucociliaire. La simulation de grandes forêts de cils dans un fluide permet d'analyser les dynamiques collectives qui émergent dans l'écoulement, ainsi que l'impact des paramètres physiologiques sur l'efficacité du transport mucociliaire. Le modèle 3D utilise une description individuelle des cils, qui évoluent à mouvement imposé dans un fluide visqueux constitué de deux couches : la couche périciliaire (PCL) dans laquelle évoluent les cils et, au-dessus, le mucus, qui est beaucoup plus visqueux que la PCL. Le modèle est construit sur un problème de Stokes 3D avec des termes sources singuliers, qui représentent l'action des cils 1D sur le fluide, et rendent le problème non local. La tension superficielle entre la PCL et le mucus est prise en compte.

Algorithme :

Dans une approche 3D, nous décrivons les cils individuellement et étudions leurs actions conjointes sur le fluide. Le modèle est construit sur (i) une paramétrisation du mouvement des cils (qui est prescrit), incluant l'onde métachronale qui traverse la forêt, (ii) des forces hydrodynamiques évaluées par la slender body theory associées à la représentation 1D des cils, (iii) la persistance de la structure bifluide par un mécanisme de tension superficielle entre la couche périciliaire et le mucus. Il en résulte un problème de Stokes 3D non local avec des termes source singuliers, en raison de l'action des cils 1D sur le fluide.

Modélisation des cils. L'action de chaque cil est modélisée par une force de type Dirac linéique, que l'on évalue par la slender body theory. Le problème de Stokes 3D est ainsi singulier et non local.

Modélisation du fluide. Le fluide est constitué de deux phases : d'une part la PCL (couche périciliaire) dans laquelle baignent les cils et, d'autre part, la couche mucus, très visqueuse. L'interface entre les deux phases est stable, en raison d'un mécanisme de tension superficielle. Les conditions aux limites sont bipériodiques dans les directions axiale et azimuthale tandis que, radialement, une condition de Dirichlet homogène est imposée sur le bord du domaine qui modélise le bord de la bronche et une condition de glissement est imposée sur le bord du domaine qui modélise l'interface avec l'air (dont on néglige l'action).

Tension superficielle. La contrainte de nullité de la vitesse normale à l'interface entre la PCL et le mucus (garantissant la stabilité de l'interface) est associée à un multiplicateur de Lagrange qui correspond à la tension superficielle à l'interface. Numériquement, la contrainte est imposée par pénalisation surfacique.

Gestion du terme non local et singularités. En moyennant le problème 3D dans les directions axiale et azimuthale, un modèle 1D permet de déterminer la moyenne de la composante axiale de la vitesse de l'écoulement ; c'est ce terme qui est utilisé, en retour, dans le problème direct. Par ailleurs, les singularités associées au manque de régularité du terme source peuvent être traitées soit par une méthode de soustraction (ce qui permet de conserver les estimations d'erreur usuelles pour la méthode des éléments finis), soit par une méthode directe (dont on peut démontrer la convergence, même si l'ordre de convergence usuel est dégradé).

Programmation :

La résolution du problème 3D+t est basée sur la méthode des éléments finis, implantée dans la librairie FreeFem++.

Auteurs :

Astrid Decoene (Bordeaux), Sébastien Martin (Paris), Chabane Meziane (Orsay) | version : mars 2024

Illustrations numériques :

  • Fig. 1 : Bifluide soumis au mouvement d'une forêt clairsemée (25x4 cils), avec onde métachronale (animations en format .gif animé).

a) dynamique de la forêt de cils :b) champ de vitesse :

  • Fig. 2 : Bifluide soumis au mouvement d'une forêt dense (100x16 cils), avec onde métachronale (animations en format .gif animé).

a) dynamique de la forêt de cils :b) champ de vitesse :

Publications :

A. Decoene, S. Martin, C. Meziane : 3D simulation of active thin structures in a viscous fluid and application to mucociliary transport, Prépublication, https://hal.science/hal-04263010/ (2024).

L. Lacouture : Modélisation et simulation du mouvement de structures fines dans un fluide visqueux : application au transport mucociliaire, Thèse de doctorat de l'université Paris-Saclay (2016).